Question

18．已知二次函數y=x²+2（m+l）x-m+1．以下四個結論：
①不論m取何值，圖象始終過點（$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$）；
②當-3＜m＜0時，拋物線與x軸沒有交點：
③當x＞-m-2時，y隨x的增大而增大；
④當m=-$\frac{3}{2}$時，拋物線的頂點達到最高位置．
請你分別判斷四個結論的真假，并給出理由．

Answer 1

分析 ①把二次函數y=x²+2（m+l）x-m+1轉化成y═（x+1）²-（2x-1）m，令x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{9}{4}$，判斷出①；②令y=x²+2（m+l）x-m+1=0，求出根的判別式△在-3＜m＜0時小于0，判斷②；③求出拋物線的對稱軸，即可判斷③；④根據頂點坐標式求出拋物線的頂點，然后根據頂點縱坐標判斷④．

解答 解：①二次函數y=x²+2（m+l）x-m+1=（x+1）²-（2x-1）m，當x=$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{9}{4}$，故可知拋物線總經過點（$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$），故①正確，
②令y=x²+2（m+l）x-m+1=0，求△=4（m+1）²+4m-4=4m²+12m，當-3＜m＜0時，4m²+12m＜0，拋物線與x軸沒有交點，故②正確，
③拋物線開口向上，對稱軸x=-$\frac{2（m+1）}{2}$=-m-1，所以當x＞-m-1時，y隨x的增大而增大，故③錯誤，
④y=x²+2（m+l）x-m+1=（x+m+1）²-m²-3m，拋物線的頂點坐標為（-m-1，-m²-3m），
因為頂點的縱坐標y=-m²-3m=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，所以當m=-$\frac{3}{2}$時，拋物線的頂點達到最高位置．故④正確，
正確的結論有①②④．

點評 本題主要考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是熟練掌握拋物線的圖象以及二次函數的性質，此題難度一般．