Question

【題目】已知關于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0.

(1)當m取何值時,此方程有兩個不相等的實數根;

(2)當拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與x軸兩個交點的橫坐標均為整數,且m為正整數時,求此拋物線的解析式;

(3)在(2)的條件下,若P(a,y1),Q(1,y2)是此拋物線上的兩點,且y1>y2,請結合函數圖象直接寫出實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)當m≠且m≠0時,方程有兩個不相等的實數根；（2）y=x2+4x+3；(3) 當y1>y2時,a>1,或a<-5.

【解析】

（1）根據一元二次方程的定義和一元二次方程根的判別式進行分析解答即可；

（2）用公式法求得關于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0的兩根，再結合已知條件求得m的值即可得到拋物線的解析式；

（3）根據（2）中所得拋物線的解析式，畫出函數的圖象，根據圖象結合已知條件即可求得對應的a的取值范圍.

(1)由題意可知，Δ=b2-4ac=(3m+1)2-4m×3=(3m-1)2>0，

解得：m≠，

∵mx2+(3m+1)x+3=0是一元二次方程，

∴m≠0，

∴當m≠且m≠0時，關于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0有兩個不相等的實數根；

(2)由一元二次方程的求根公式可解得mx2+(3m+1)x+3=0的兩實數根為：x1=-3，x2=.

∵拋物線與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且m為正整數,

∴m=1,

∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3；

(3)畫出函數y=x2+4x+3的圖象如下圖所示；

當x=1時，y=1+4+3=8，由此可得圖中點Q的坐標為（1，8），

過點Q作y軸的垂線，交拋物線于點M，

根據拋物線的對稱性，可得點M(-5，8)，

由圖象可知,當y1>y2時，a>1，或a<-5.