Question

【題目】三角形中，頂角等于的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖，在中，已知：，且．

在圖中，用尺規作的垂直平分線交于，并連接（保留作圖痕跡，不寫作法）；

是不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；

設，試求的值；

如圖，在中，已知，，且，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）；（4）．

【解析】

（1）根據作線段垂直平分線的方法作圖即可；（2）分別求得△BCD各個角的度數，根據黃金三角形的定義即可解答；（3）通過證明△BDC∽△ABC，根據相似三角形的性質求解即可；（4）延長到，使，連接，證明，可得．根據（3）可得，，由此即可求得的值．

如圖所示；

是黃金三角形．

證明如下：∵點在的垂直平分線上，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴是黃金三角形．

設，，

由知，．

∵，，

∴，

∴，即，

整理，得，

解得．

因為、均為正數，所以．

．

理由：延長到，使，連接．

∵，，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

由知，

∴，，

∴．