Question

【題目】（1）如圖1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠A=56°，求∠BOC的度數；

（2）如圖2，若點P為△ABC外部一點，PB平分∠ABC，PC平分外角∠ACD，先寫出∠A和∠P的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）∠BOC=118°；（2）∠A=2∠P，理由見解析

【解析】

（1）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內角和定理求出∠BOC的值；

（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，根據角平分線的定義可得∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，然后整理得到2∠PCD=∠A．

解：（1）∵∠A=56°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=124°，

∵BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴∠CBO=∠ABO，∠ACO=∠BCO，

∴∠CBO+∠BCO=（∠ABC+∠ACB）=×124°=62°，

∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=118°；

（2）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴∠ABC=2∠PBC，∠ACD=2∠PCD，

∴∠ACD-∠ABC=2（∠PCD-∠PBC），

∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠P=∠PCD-∠PBC，

∴∠A=2∠P．