Question

【題目】已知AB是⊙O的的直徑，弦CD與AB相交，∠BCD=25°。

（1）如圖1，求∠ABD的大小；

（2）如圖2，過點D作O的切線，與AB的延長線交于點P，若DP∥AC，求∠OCD的度數。

Answer 1

【答案】（1）∠ABD=65°；

（2）∠OCD=25°.

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角是90°可得∠ACB=90°，由已知∠BCD=25°，繼而可求∠ACD，再由圓周角定理可得∠ABD=∠ACD；

（2）連接OD，根據切線的性質可得∠ODP=90°，根據圓周角定理可得∠DOB=2∠DCB=50°，然后根據三角形內角和定理可得∠P=40°，再由平行線的性質可得∠P=∠OAC=40°，再由三角形的外角和定理求得∠COB=80°，再由等腰三角形的性質求得∠OCD即可.

解：∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵∠BCD=25°，

∴∠ACD=65°，

∵∠ACD=∠ABD，

∴∠ABD=65°；

（2）如圖：

連接OD，

∵DP是⊙O的切線，

∴∠ODP=90°，

∵∠DOB=2∠DCB，

∴∠DOB=2×25°=50°，

∴∠P=40°，

∵AC∥DP，

∴∠OAC=∠P=40°，

∴∠COB=∠OAC+∠OCA=80°，

∴∠COD=∠COB+∠DOB=130°，

∵CO=DO，

∴∠OCD=∠ODC=25°.