Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，E為BC上一點，過B作BG⊥AE于G，延長BG至點F使∠CFB=45°
（1）求證：AG=FG；
（2）如圖2延長FC、AE交于點M，連接DF、BM，若C為FM中點，BM=10，求FD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過C點作CH⊥BF于H點，

∵∠CFB=45°

∴CH=HF，

∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°

∴∠BAG=∠FBE，

∵AG⊥BF，CH⊥BF，

∴∠AGB=∠BHC=90°，

在△AGB和△BHC中，

∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，

∴△AGB≌△BHC，

∴AG=BH，BG=CH，

∵BH=BG+GH，

∴BH=HF+GH=FG，

∴AG=FG；

（2）解：∵CH⊥GF，

∴CH//GM，

∵C為FM的中點，

∴CH= GM，

∴BG= GM，

∵BM=10，

∴BG=2 ，GM=4 ，

∴AG=4 ，AB=10，

∴HF=2 ，

∴CF=2 × =2 ，

∴CM=2 ，

過B點作BK⊥CM于K，

∵CK= CM= CF= ，

∴BK=3 ，

過D作DQ⊥MF交MF延長線于Q，

∴△BKC≌△CQD

∴CQ=BK=3 ，

DQ=CK= ，

∴QF=3 ﹣2 = ，

∴DF= =2

【解析】（1）過C點作CH⊥BF于H點，根據已知條件可證明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因為BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，進而證明AG=FG；（2）過D作DQ⊥MF交MF延長線于Q，根據全等三角形的性質和等腰三角形的性質即可求出FD的長．
【考點精析】利用正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．