Question

（1）如圖1，在△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5．D為AB邊上一點，且△ACD與△BCD的周長相等，則AD=

2

．
（2）如圖2，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB²=BC²+AC²．E為BC邊上一點，且△ABE與△ACE的周長相等；F為AC邊上一點，且△ABF與△BCF的周長相等，求CE•CF（用含a，b的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）根據△ACD與△BCD的周長相等可得出AC+AD=BC+BD，再由AD+BD=5，聯立求解方程組即可解出AD的長．
（2）設AB=c，則c²=a²+b²，根據△ABE與△ACE的周長相等得出CE+AC=BE+AB=

1

2

（AB+BC+AC），從而設CE=x可得出x的表達式，設CF=y，可得出y的表達式，進而求出CE•CF的值．

解答：解：（1）∵△ACD與△BCD的周長相等，
∴AC+AD=BC+BD，即4+AD=3+BD，
又AD+DB=5，

BD-AD=1 AD+BD=5

解得：AD=2．
（2）設AB=c，則c²=a²+b²，
∵△ABE與△ACE的周長相等，
∴CE+AC=BE+AB=

1

2

（AB+BC+AC），
設CE=x，
∴x+b=

1

2

（a+b+c），
∴x=

1

2

（a-b+c），
設CF=y，同理可得y+a=

1

2

（a+b+c），
∴CE•CF=

1

2

（a-b+c）•

1

2

（b+c-a）=

1

4

[c²-（a-b）²]，
∵c²=a²+b²，
∴CE•CF=

1

2

ab．

點評：此題考查了勾股定理及三角形的三邊關系、二元一次方程組的應用，涉及的小知識點較多，解答本題的關鍵是仔細審題，細化解題思路，難度較大．