Question

15．關于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有兩個不等實根x₁，x₂．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若方程兩實根x₁，x₂滿足x₁+x₂=-x₁x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由方程的系數結合根的判別式即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出實數k的取值范圍；
（2）由根與系數的關系可得x₁+x₂=-（2k+1）、x₁•x₂=k²+1，結合x₁+x₂=-x₁•x₂即可得出關于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再根據k＞$\frac{3}{4}$即可確定k的值．

解答 解：解：（1）∵關于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有兩個不相等的實數根，
∴△=（2k+1）²-4（k²+1）=4k-3＞0，
解得：k＞$\frac{3}{4}$．
∴實數k的取值范圍為k＞$\frac{3}{4}$．
（2）由根與系數的關系，得：x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²+1，
∵x₁+x₂=-x₁•x₂，
∴2k+1=k²+1，
解得：k=0或k=2，
又∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k=2．

點評 本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，根據根與系數的關系找出關于k的一元二次方程是解題的關鍵．