Question

【題目】已知拋物線y=3ax2+2bx+c，

（1）若a=3k，b=5k，c=k+1，試說明此類函數圖象都具有的性質；

（2）若a=， c=2+b且拋物線在﹣2≤x≤2區間上的最小值是﹣3，求b的值；

（3）若a+b+c=1，是否存在實數x，使得相應的y的值為1，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x=- （2）3或 （3）存在必實數x，使得相應的y的值為1

【解析】

（1）把a=3k，b=5k，c=k+1代入拋物線解析式，拋物線y=3ax2+2bx+c可化為y=（9x2+10x+1）k+1，令9x2+10x+1=0，解得x1=-1，x2=，即可求得圖解必過的點（﹣1，1），（，1），根據對稱軸公式可得對稱軸為直線x=；

（2）a=，c=2+b，則拋物線可化為y=x2+2bx+2+b，其對稱軸為直線x=﹣b，然后根據b的取值范圍分情況進行討論即可得函數的最小值；

（3）由y=1可得3ax2+2bx+c=1，表示出方程的判別式，利用配方法及完全平方的非負性進行判斷即可得結論.

（1）∵a=3k，b=5k，c=k+1，

∴拋物線y=3ax2+2bx+c可化為y=9kx2+10kx+k+1=（9x2+10x+1）k+1

∴令9x2+10x+1=0，

解得x1=-1，x2=，

∴圖象必過（﹣1，1），（，1），

∴對稱軸為直線x=﹣=；

（2）∵a=，c=2+b，

∴拋物線y=3ax2+2bx+c可化為y=x2+2bx+2+b，

∴對稱軸為直線x=﹣b，

當﹣b＞2時即b＜﹣2，

x=2時y取到最小值為﹣3，

∴4+4b+2+b=﹣3，解得b=（不符合），

當﹣b＜2時即b＞﹣2，

x=2時y取到最小值為﹣3．

∴4+4b+2+b=﹣3，解得b=3；

當﹣2＜﹣b＜2時即﹣2＜b＜2，，

解得：(不符合），，

∴b=3或；

（3）∵a+b+c=1，

∴c﹣1=﹣a﹣b

令y=1，則3ax2+2bx+c=1．

△=4b2﹣4（3a）（c﹣1），

∴△=4b2+4（3a）（a+b）=9a2+12ab+4b2+3a2=（3a+2b）2+3a2 ，

∵a≠0，

∴（3a+2b）2+3a2＞0，

∴△＞0，

∴存在必實數x，使得相應的y的值為1．