Question

【題目】如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D，過點A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P．連接PC并延長與AB的延長線交于點F．

（1）求證：PC是半⊙O的切線；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求線段BF的長．

Answer 1

【答案】見解析；5.

【解析】試題（1）、連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對應角相等，以及切線的性質定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可證得；（2）、依據切線的性質定理可知OC⊥PE，然后通過解直角三角函數，求得OF的值，再減去圓的半徑即可．

試題解析：（1）、連接OC，

∵OD⊥AC，OD經過圓心O，

∴AD=CD，

∴PA=PC，

在△OAP和△OCP中，，

∴△OAP≌△OCP（SSS），

∴∠OCP=∠OAP

∵PA是⊙O的切線，

∴∠OAP=90°．

∴∠OCP=90°，

即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切線．

（2）、∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=30°，

∴∠COF=60°，

∵PC是⊙O的切線，AB=10，

∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，

∴OF==10，

∴BF=OF﹣OB=5．