Question

如圖：已知AB是圓O的直徑，BC是圓O的弦，圓O的割線DEF垂直于AB于點G，交BC于點H，DC=DH．
（1）求證：DC是圓O的切線；
（2）請你再添加一個條件，可使結論BH²=BG•BO成立，說明理由；
（3）在滿足以上所有的條件下，AB=10，EF=8．求sin∠A的值．

Answer 1

分析：（1）要求證：DC是圓O的切線，只要證明OC⊥PC即可．
（2）要證明BH²=BG•BO成立，只要求證△BHG△BOH，只要添加條件：H為BC的中點就可以．
（3）AB與EF是兩條相交的弦，根據相交弦定理得到AG•BG=EG²即（AB-BG）BE=16即BG²-10BG+16=0，就可以求出BG的長．進而求出BC，就可以求出sinA的值．

解答：解：（1）連接OD、OC相交于M，
∵∠ACB=90°，CO=AO，
∴∠ACO=∠CAO，∠CAO+∠B=90°，∠B+∠BHG=90°．
∴∠CAO=∠BHG．
∵DC=DH，
∴∠DCH=∠DHC．
∴∠DCH=∠ACO．
∴∠DCH+∠HCO=∠ACO+∠OCH=90°．
∴OC⊥PC．
即DC為切線．

（2）加條件：H為BC的中點，
∴OH⊥HB．
∴△BHG∽△BOH．
∴

BH

BO

=

BG

BH

．
∴BH²=BD•BG．

（3）∵AB=10，EF=8，
∴EG=4．
∴AG•BG=EG²=16．
∴（AB-BG）BG=16．
即BG²-10BG+16=0．
∴BG=2或8（舍）．
∵BH2=BG•BO=2×5=10，
∴BH=

10

．
∴BC=2

10

．
∴sinA=

BC

AB

=

2 10

10

=

10

5

．

點評：證明一條直線是圓的切線，只要證明直線經過半徑的外端點，且垂直于這條半徑就可以．證明線段的積相等的問題可以轉化為三角形相似的問題．