Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在BA的延長線上，CA=AO，點D在⊙O上，∠ABD=30°．

⑴求證：CD是⊙O的切線；
⑵若點P在直線AB上，⊙P與⊙O外切于點B，與直線CD相切于點E，設⊙O與⊙P的半徑分別為r與R，求的值．

Answer 1

（1）證明：連結OD、DA
∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA=90°
又∠ABD=30°，∴AD=AB=OA
又AC=AO，∴∠ODC=90°
∴CD切⊙O于點D
（2）方法一：連結PE，由（1）知∠DAB=60°，又AD=AC  
∴∠C=30°
又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE
∴PE=CP
又PE=BP=R，CA=AO=OB=r
∴3r=R，即 
方法二：連結PE，
又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE
∴OD∥PE
∴=
即 ，∴

（1）欲證：CD是⊙O的切線，只要轉化為證明∠ODC=90°即可；
（2）連接PE，易證，又PE=BP=R，CA=AO=OB=r，即可得到結果．