Question

如圖1,在平面直角坐標系中,有一矩形ABCD,其三個頂點的坐標分別為A（2,0）、B（8,0）、C（8,3）．將直線l:y＝－3x－3以每秒3個單位的速度向右運動,設運動時間為t秒．

（1）當t＝_________時,直線l經過點A．（直接填寫答案）
（2）設直線l掃過矩形ABCD的面積為S,試求S＞0時S與t的函數關系式．
（3）在第一象限有一半徑為3、且與兩坐標軸恰好都相切的⊙M,在直線l出發的同時,⊙M以每秒2個單位的速度向右運動,如圖2所示,則當t為何值時,直線l與⊙M相切？

Answer 1

（1）1;
（2）當1＜t≤時,S＝;
當＜t≤3時,S＝9t－;
當3＜t≤時,S＝－ (3t－10)²＋18;
當t＞時,S＝18;
（3）t＝5－或t＝5＋．

試題分析:（1）y＝－3x－3與x軸交點坐標是（-1,0）,直線l經過點A（2,0）,故向右平移3個單位長度,直線l:y＝－3x－3以每秒3個單位的速度向右運動,所以t=1;
（2）求出直線l:y=﹣3x+9t﹣3,再分情況討論;
（3）分兩種情況討論,借助三角形相似即可．
試題解析:(1)y＝－3x－3與x軸交點坐標是（-1,0）,直線l經過點A（2,0）,故向右平移3個單位長度,直線l:y＝－3x－3以每秒3個單位的速度向右運動,所以t=1;
（2）由題意,可知矩形ABCD頂點D的坐標為(2,3)． 
由一次函數的性質可知,當t由小到大變化時,直線l:y=﹣3(x﹣3t)-3=﹣3x+9t﹣3向右平移,依次掃過矩形ABCD的不同部分． 
可得當直線經過A(2,0)時,t=1;當直線經過D(2,3)時,t=;當直線經過B(8,0)時,t=3;當直線經過C(8,3)時,t=． 
①當1＜t≤時, 如圖所示． 

設直線l:y=-3x+9t﹣3與x軸交于點P,與AD交于點Q．
令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3; 
令x=2,可得y=9t﹣9,∴AQ=9t﹣9． 
∴S=S_△APQ=AP•AQ=(3t﹣3)( 9t﹣9)=;
②當＜t≤3時,如圖所示． 

設直線l:y=-3x+9t﹣3與x軸交于點P,與CD交于點Q． 
令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3; 
令y=3,可得x=3t﹣2,∴DQ=3t﹣4． 
S=S_梯形APQD=(DQ+AP)•AD=9t－;
③當3＜t≤時,如圖所示． 

設直線l:y=-3x+9t﹣3與BC交于點P,與CD交于點Q． 
令x=8,可得y=9t﹣27,∴BP=9t﹣27,CP=30﹣9t; 
令y=3,可得x= 3t﹣2,∴DQ= 3t﹣4,CQ=10﹣3t． 
S=S_矩形ABCD﹣S_△PQC=18﹣CP•CQ=－(3t－10)²＋18;
④當t＞時,S=S_矩形ABCD=18．
綜上所述, S與t的函數關系式為:
;
(3)若直線l:y=﹣3x+9t﹣3與⊙M相切,如圖所示,應有兩條符合條件的切線．

設直線與x軸、y軸交于A、B點,則A(3t﹣1,0)、B(0,9t﹣3),∴OB=3OA．
由題意,可知⊙M與x軸相切,設切點為D,連接MD; 
設直線與⊙M的一個切點為P,連接MP并延長交x軸于點G;過P點作PN⊥MD于點N,PH⊥x軸于點H． 
易證△PMN∽△BAO,∴PN:MN=OB:OA=3,∴PN=3MN． 
在Rt△PMN中,由勾股定理得:PM²=PN²+MN²,解得: MN=,PN=, 
∴PH=ND=MD﹣MN=3﹣,OH=OD﹣HD=OD﹣PN=2t+3﹣,
∴P(2t+3﹣,3﹣),代入直線解析式求得:t=5﹣; 
同理,當切線位于另外一側時,可求得:t=5+．
考點:動點問題．