Question

已知：直線交軸于點，交軸于點，拋物線經過、、（1，0）三點.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點的坐標為（-1，0），在直線上有一點，使與相似，求出點的坐標；
（3）在（2）的條件下，在軸下方的拋物線上，是否存在點，使的面積等于四邊形的面積？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）或（1，2）；（3）不存在

試題分析：（1）先求得直線與坐標軸的交點A、B的坐標，再由拋物線經過A、B、C三點即可根據待定系數法求得結果；
（2）由題意可得：△ABO為等腰直角三角形，分△ABO∽△AP₁D，△ABO∽△ADP₂，根據等腰三角形的性質及相似三角形的性質求解即可；
（3）如圖設點E ，根據三角形的面積公式可得①當P₁（-1，4）時，= ，由點E在x軸下方可得，代入得即，根據△=（-4）²-4×7=-12<0可得此方程無解；②當P₂（1，2）時，= ，由點E在x軸下方可得，代入得：，即，根據△=（-4）²-4×5=-4<0可得此方程無解，綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E.
（1）由題意得，A（3，0），B（0，3）
∵拋物線經過A、B、C三點，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入得方程組
，解得：
∴拋物線的解析式為；
（2）由題意可得：△ABO為等腰直角三角形，如圖所示

若△ABO∽△AP₁D，則 
∴DP₁=AD=4
∴P₁
若△ABO∽△ADP₂ ，過點P₂作P₂ M⊥x軸于M，AD=4
∵△ABO為等腰三角形
∴△ADP₂是等腰三角形，由三線合一可得：DM="AM=2=" P₂M，即點M與點C重合
∴P₂（1，2）；
（3）如圖設點E ，則


①當P₁（-1，4）時，=
∴，
∵點E在x軸下方 
∴，代入得即
∵△=（-4）²-4×7=-12<0
∴此方程無解；
②當P₂（1，2）時，=     
∴， 
∵點E在x軸下方 
∴，代入得：，即，
∵△=（-4）²-4×5=-4<0
∴此方程無解
綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E.
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.