Question

如圖，已知O是正方形ABCD對角線AC上一點，以O為圓心、OA的長為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的邊長為1，求⊙O的半徑；
（3）對于以點M、E、A、F以及CD與⊙O的切點為頂點的五邊形的五條邊，從相等關系考慮，你可以得出什么結論？請給出證明．

Answer 1

分析：（1）過O作ON⊥CD于N，然后證ON的長等于⊙O的半徑即可；連接OM，根據正方形和角平分線的性質，證OM=ON即可．
（2）若正方形的邊長為1，則對角線AC的長為

2

，可用⊙O的半徑表示出OA、OM、OC的長，然后根據AC的長度求出⊙O的半徑．
（3）五邊形中可能相等邊的有兩組：①AE=AF=MN，②ME=MF；
①易證得四邊形OMCN是正方形，那么△MNC是等腰直角三角形，而MC、CN都等于⊙O的半徑，即可求得MN的長；下面求AE、AF的長，以AE為例，易求得BM的長，根據切割線定理即可求得BE的長，進而可得到AE的長，AF的求法相同，然后比較AE、AF、MN是否相等即可；
②求ME=MF，證△MBE≌△NDF即可．

解答：（1）證明：連接OM，則OM⊥BC，過O作ON⊥CD于N．（1分）
∵點O在正方形ABCD的對角線AC上，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴OM=ON．
∵OA=OM，
∴ON=OM=OA，即ON是⊙O的半徑．
∵ON⊥CD，
∴CD與⊙O相切于點N．

（2）解：設⊙O的半徑為R，則OM=R．
∵正方形ABCD的邊長為1，
∴AC=

2

，OC=

2

-R．
在Rt△OMC中，
∵sin∠OCM=

OM

OC

，
∴sin45°=

R

2 -R

，
解之，得R=2-

2

．

（3）解：對五邊形MEAFN的五條邊，從相等關系考慮，有
①AE=AF=MN；②EM=FN．
證明如下：
①∵∠OMC=∠ONC=∠MCN=90°，OM=ON，
∴四邊形OMCN是正方形．
MC=NC=R=2-

2

，BM=DN=

2

-1，
在Rt△MNC中，MN=

2

R=2

2

-2；
∵BC切⊙O于M，
∴BM²=BE•BA，
∴BE=

BM2

BA

=(

2

-1)2=3-2

2

，
同理DF=3-2

2

，
∴AE=AF=1-（3-2

2

）=2

2

-2，
∴AE=AF=MN．（9分）
②∵在Rt△EBM和Rt△FDN中，

BE=DF ∠B=∠D=90° BM=DN

，
∴△EBM≌△FDN．
∴EM=FN．

點評：此題考查了正方形的性質、切線的判定、切割線定理以及全等三角形的判定等知識，難度適中．