Question

如圖，已知P是正方形ABCD內一點，△PBC是等邊三角形，若△PAD的外接圓半徑為a，則正方形ABCD邊長為（

• A、

  1

  2

  a 
• B、

  3

  2

  a
• C、a
• D、

  2

  a

Answer 1

分析：如圖，設△PAD的外接圓為⊙O，根據已知條件可以證明△ABP≌△CDP，然后利用全等三角形的性質得到PA=PD，那么連接OP交AD與E點，根據垂徑定理的推論知道E為AD的中點，并且OP⊥AD，根據已知條件和等邊三角形的性質可以求出∠APD=150°，接著可以求出∠APO，再利用等腰三角形的性質可以求出∠AOE=30°，然后解直角三角形即可求解．

解答：解：如圖，設△PAD的外接圓為⊙O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∵△PBC是等邊三角形，
∴BP=CP=BC=AB=CD，∠PBC=∠PCB=60°，
∴∠ABP=∠PCD=30°，
∴∠APB=∠CPD=

180°-30°

2

=75°，
∴∠APD=360°-∠BPC-APB-∠CPD=360°-60°-75°-75°=150°，
連接OP交AD于E點，
根據垂徑定理的推論知道E為AD的中點，并且OP⊥AD，
∴∠APO=75°
而OA=OP，
∴∠AOE=30°，
∴AE=

1

2

AO，
∴AD=AE=a，
∴正方形的邊長為a．
故選C．

點評：此題既考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、也考查了垂徑定理的推論、解直角三角形等知識點，綜合性比較強，對于學生的能力要求比較高，平時加強訓練．