Question

【題目】已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過點D的直線交AC于E點，且△AEF為等邊三角形．

（1）求證：△DFB是等腰三角形；

（2）若DA=AF，求證：CF⊥AB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】（1）由AB是⊙O直徑，得到∠ACB=90°，由于△AEF為等邊三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根據三角形的外角的性質即可得到結論；

（2）過點A作AM⊥DF于點M，設AF=2a，根據等邊三角形的性質得到FM=EN=a，AM=a，在根據已知條件得到AB=AF+BF=8a，根據直角三角形的性質得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根據三角形的內角和即可得到結論．

解：（1）∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACB=90°，

∵△AEF為等邊三角形，

∴∠CAB=∠EFA=60°，

∴∠B=30°，

∵∠EFA=∠B+∠FDB，

∴∠B=∠FDB=30°，

∴△DFB是等腰三角形；

（2）過點A作AM⊥DF于點M，設AF=2a，

∵△AEF是等邊三角形，∴FM=EN=a，AM=a，

在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM= ，

∴DM=5a，∴DF=BF=6a，

∴AB=AF+BF=8a，

在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，

∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，

∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，

∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，

∴CF⊥AB．