Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=x2+bx的圖象相交于O、A兩點，點A（3，3），點M為拋物線的頂點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）長度為2 的線段PQ在線段OA（不包括端點）上滑動，分別過點P、Q作x軸的垂線交拋物線于點P1、Q1 ， 求四邊形PQQ1P1面積的最大值；
（3）直線OA上是否存在點E，使得點E關(guān)于直線MA的對稱點F滿足S△AOF=S△AOM？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（3，3）代入y=x2+bx中，

得：3=9+3b，解得：b=﹣2，

∴二次函數(shù)的表達式為y=x2﹣2x

（2）

解：設(shè)點P在點Q的左下方，過點P作PE⊥QQ1于點E，如圖1所示．

∵PE⊥QQ1，QQ1⊥x軸，

∴PE∥x軸，

∵直線OA的解析式為y=x，

∴∠QPE=45°，

∴PE= PQ=2．

設(shè)點P（m，m）（0＜m＜1），則Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），

∴PP1=3m﹣m2，QQ1=2﹣m2﹣m，

∴ = （PP1+QQ1）PE=﹣2m2+2m+2=﹣2 + ，

∴當m= 時， 取最大值，最大值為

（3）

解：存在．

如圖2中，①點E的對稱點為F，EF與AM交于點G，連接OM、MF、AF、OF．

∵S△AOF=S△AOM，

∴MF∥OA，

∵EG=GF， = ，

∴AG=GM，

∵M（1，﹣1），A（3，3），

∴點G（2，1），

∵直線AM解析式為y=2x﹣3，

∴線段AM的中垂線EF的解析式為y=﹣ x+2，

由 解得 ，

∴點E坐標為（ ， ）．

②設(shè)E關(guān)于點A的對稱點E′，E′關(guān)于AM的對稱點F′，根據(jù)對稱性可知，△OAF′與△AOF的面積相等，

此時E′（ ， ），

綜上所述滿足條件的點E坐標（ ， ）或（ ， ）

【解析】（1）把點A（3，3）代入y=x2+bx中，即可解決問題．（2）設(shè)點P在點Q的左下方，過點P作PE⊥QQ1于點E，如圖1所示．設(shè)點P（m，m）（0＜m＜1），則Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可解決問題．（3）存在，首先證明EF是線段AM的中垂線，利用方程組求交點E坐標，再根據(jù)對稱性E關(guān)于點A的對稱點E′也符合條件，求出E、E′坐標即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．