Question

已知拋物線（k是實數）與x軸有交點，將此拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到新的拋物線E，設拋物線E與x軸的交點為B，C，如圖．
（1）求拋物線E所對應的函數關系式，并求出頂點A的坐標；
（2）連接AB，把AB所在的直線平移，使它經過點C，得到直線l，點P是l上一動點（與點C不重合）．設以點A，B，C，P為頂點的四邊形面積為S，點P的橫坐標為t，當0＜S≤16時，求t的取值范圍；
（3）點Q是直線l上的另一個動點，以點Q為圓心，R為半徑作圓Q，當R取何值時，圓Q與直線AB相切？相交？相離？直接給出結果．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據拋物線與x軸有交點，則判別式△≥0，據此即可求得k的值，函數的解析式即可求得，然后根據將此拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到新的拋物線E，即可求得E的解析式以及頂點坐標；
（2）首先求得B、C的坐標，然后利用待定系數法即可求得AB，l的解析式，分P在x軸下方和上方，兩種情況利用P的橫坐標t表示出四邊形的面積，再根據0＜S≤16即可得到關于t的不等式，求得t的范圍；
（3）過點C作CH⊥AB，H為垂足，利用三角形的面積公式求得CH的長，然后利用直線與圓的位置關系的判定方法，即可寫出結果．
解答：解：（1）拋物線y=-x²+2kx-k²+2k-2（k是實數）與x軸有交點，
則判別式△=（2k）²+4（-k²+2k-2）=-（k-2）²≥0，
則k=2，
因而拋物線的解析式是：y=-x²+4x-4，
將此拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位得到的拋物線是：y=-（x+1）²+4（x+1）-4+4，
即：y=-x²+2x+3
即y=-（x-1）²+4，
∴頂點A坐標為（1，4）；

（2）令y=0，得-x²+2x+3=0所以B（-1，0），C（3，0）
設直線AB的函數關系式為y=kx+b、
∵A（0，4），B（-1，0）∴解得，
∴y=2x+2
∵直線l∥AB且過點C（3，0），∴直線l的函數關系式為y=2x-6，
∵點P是l上一動點且橫坐標為t，∴點P坐標為（t，2t-6）
當P在x軸下方時（t＜3），S=S_△ABC+S_△BCP=×4×4+×4×|2t-6|=20-4t．
∵0＜S≤16，∴0＜20-4t≤16，∴1≤t＜5、又t＜3，∴1≤t＜3
當P在x軸上方時（t＞3），
作PM⊥x軸于M，設對稱軸與x軸交點為N． 則
S=S_梯形ANMP+S_△ANB+S_△PMC
=[4+（2t-6）]•（t-1）+2×4-（t-3）（2t-6）
=4t-4
另法：∵直線l∥AB，根據等底等高的面積相等進行轉化
S=S_△ABC+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC=S_△ABC+S_△PBC=×4×4+×4×（2t-6）=4t-4
∵0＜S≤16，∴0＜4t-4≤16，
∴1＜t≤5．
又∵t＞3，
∴3＜t≤5．
∴t的取值范圍是1≤t＜3或3＜t≤5；

（3）AB=2，過點C作CH⊥AB，H為垂足，S_△ABC=×4×4=×AB×CH
所以CH=，
因為平行線間距離處處相等，所以點Q到直線AB的距離等于，
所以當R=時相切，R時相交，R＜時相離．
點評：此題考查了待定系數法求拋物線解析式以及直線與圓的位置關系的判定，并且用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．