Question

如圖，已知拋物線（b是實數且b>2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C．

（1）點B的坐標為      ，點C的坐標為      （用含b的代數式表示）；

（2）若b=8，請你在拋物線上找點P，使得△PAC是直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）請你探索，在（1）的結論下，在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）B（b，0），C（0，）；

（2）當∠CAP=90°時，P（10，4.5）；當∠ACP=90°時，P（11，7.5）

（3）（1，4），

【解析】

試題分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可求出A，B橫坐標，令x=0，求出y的值即C的縱坐標；

（2）先求出b=8時點B、點C的坐標，再分∠PAC=90°與∠PCA=90°兩種情況分析即可；

（3）存在，假設存在這樣的點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似，有條件可知：要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸；要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分別討論求出滿足題意Q的坐標即可．

（1）在中，當y=0時，x=1或b，

∵b是實數且b＞2，點A位于點B的左側，

∴點B的坐標為（b，0），

當x=0時，y=

∴點C的坐標為（0，）；

當b=8時點B、點C的坐標分別為B（8，0），C（0，2），二次函數關系式為

設直線AC的解析式為

∵圖象過點A（1，0），C（0，2）

∴，解得

∴直線AC的解析式為

當∠CAP=90°時，設直線AP的解析式為

∵圖象過點A（1，0）

∴，

∴直線AP的解析式為

聯立與解得，即此時點P坐標為（10，4.5）；

當∠ACP=90°時，設直線AP的解析式為

∵圖象過點C（0，2）

∴直線AP的解析式為

聯立與解得，即此時點P坐標為（11，7.5）；

（3）假設存在這樣的點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似．

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，

∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．

∴要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸．

∵b＞2，

∴AB＞OA，

∴∠Q0A＞∠ABQ．

∴只能∠AOQ=∠AQB．此時∠OQB=90°，

由QA⊥x軸知QA∥y軸．

∴∠COQ=∠OQA．

∴要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．

（I）當∠OCQ=90°時，△CQO≌△QOA．

∴AQ=CO=．

由AQ²=OA?AB得：（）²=b-1．

解得：b=8±4．

∵b＞2，

∴b=8+4．

∴點Q的坐標是（1，2+）．

（II）當∠OQC=90°時，△OCQ∽△QOA，

∴，即OQ²=OC?AQ．

又OQ²=OA?OB，

∴OC?AQ=OA?OB．即?AQ=1×b．

解得：AQ=4，此時b=17＞2符合題意，

∴點Q的坐標是（1，4）．

∴綜上可知，存在點Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似．

考點：二次函數的綜合題

點評：二次函數的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.