Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為常數）的對稱軸為x=1，與y軸的交點為c（0，4），y的最大值為5，頂點為M，過點D（0，1）且平行于x軸的直線與拋物線交于點A，B．

（Ⅰ）求該二次函數的解析式和點A、B的坐標；

（Ⅱ）點P是直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構成的三角形與△BCD相似，求出所有點P的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y＝﹣x2+2x+4，B（﹣1，1），A（3，1）；（Ⅱ）P點坐標為（3，1）或（﹣3，7）或（）或（）.

【解析】

（Ⅰ）先確定頂點M的坐標，再設頂點式y＝a（x﹣1）2+5，然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；在計算函數值為1所對應的自變量的值即可得到A、B點的坐標；

（Ⅱ）先計算出CD＝3，BD＝1，AM＝2，CM，AC＝3，則利用勾股定理的逆定理得到△ACM為直角三角形，∠ACM＝90°，然后分兩種情況討論：①當時，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，設此時P（x，﹣x+4），利用兩點間的距離公式得到x2+（﹣x+4﹣4）2＝（3）2，求出x從而得到此時P點坐標；

②當時，△MCP∽△CDB，即，解得PC，利用同樣方法求出對應的P點坐標．

（Ⅰ）根據題意得拋物線的頂點M的坐標為（1，5），設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+5，把C（0，4）代入y＝a（x﹣1）2+5得：a+5＝4，解得：a＝﹣1，所以拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+5，即y＝﹣x2+2x+4；

當y＝1時，﹣x2+2x+4＝1，解得：x1＝﹣1，x2＝3，則B（﹣1，1），A（3，1）；

（Ⅱ）CD＝3，BD＝1，AM ，CM，易得直線AC的解析式為y＝﹣x+4．

∵CM2+AC2＝AM2，∴△ACM為直角三角形，∠ACM＝90°，∴∠BDC＝∠MCP，分兩種情況討論：

①當時，△MCP∽△BDC，即，解得：PC＝3，設此時P（x，﹣x+4），∴x2+（﹣x+4﹣4）2＝（3）2，解得：x＝±3，則此時P點坐標為（3，1）或（﹣3，7）；

②當時，△MCP∽△CDB，即，解得：PC，設此時P（x，﹣x+4），∴x2+（﹣x+4﹣4）2＝（）2，解得：x＝±，則此時P點坐標為（）或（）；

綜上所述：滿足條件的P點坐標為（3，1）或（﹣3，7）或（）或（）．