Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度，沿線段AB方向勻速運動，到達(dá)點B停止．連接DP交AC于點E，以DP為直徑作⊙O交AC于點F，連接DF、PF．

（1）求證：△DPF為等腰直角三角形；

（2）若點P的運動時間t秒．

①當(dāng)t為何值時，點E恰好為AC的一個三等分點；

②將△EFP沿PF翻折，得到△QFP，當(dāng)點Q恰好落在BC上時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①1；②﹣1．

【解析】

（1）要證明三角形△DPF為等腰直角三角形，只要證明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根據(jù)直徑所對的圓周角是90°和同弧所對的圓周角相等，可以證明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°，從而可以證明結(jié)論成立；

（2）①根據(jù)題意，可知分兩種情況，然后利用分類討論的方法，分別計算出相應(yīng)的t的值即可，注意點P從A出發(fā)到B停止，t≤4÷2＝2；

②根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，

∴∠DAC＝45°，

∵在⊙O中，所對的圓周角是∠DAF和∠DPF，

∴∠DAF＝∠DPF，

∴∠DPF＝45°，

又∵DP是⊙O的直徑，

∴∠DFP＝90°，

∴∠FDP＝∠DPF＝45°，

∴△DFP是等腰直角三角形；

（2）①當(dāng)AE：EC＝1：2時，

∵AB∥CD，

∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，

∴△DCE∽△PAE，

∴，

∴，

解得，t＝1；

當(dāng)AE：EC＝2：1時，

∵AB∥CD，

∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，

∴△DCE∽△PAE，

∴，

∴，

解得，t＝4，

∵點P從點A到B，t的最大值是4÷2＝2，

∴當(dāng)t＝4時不合題意，舍去；

由上可得，當(dāng)t為1時，點E恰好為AC的一個三等分點；

②如右圖所示，

∵∠DPF＝90°，∠DPF＝∠OPF，

∴∠OPF＝90°，

∴∠DPA+∠QPB＝90°，

∵∠DPA+∠PDA＝90°，

∴∠PDA＝∠QPB，

∵點Q落在BC上，

∴∠DAP＝∠B＝90°，

∴△DAP∽△PBQ，

∴，

∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，

∴DP＝＝2，PB＝4﹣2t，

設(shè)PQ＝a，則PE＝a，DE＝DP﹣a＝2﹣a，

∵△AEP∽△CED，

∴，

即，

解得，a＝，

∴PQ＝，

∴，

解得，t1＝﹣﹣1（舍去），t2＝﹣1，

即t的值是﹣1．