Question

【題目】平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y=ax2+bx+3與y軸相交于點C，與x軸正半軸相交于點A，OA=OC，與x軸的另一個交點為B，對稱軸是直線x=1，頂點為P．

（1）求這條拋物線的表達式和頂點P的坐標；

（2）拋物線的對稱軸與x軸相交于點M，求∠PMC的正切值；

（3）點Q在y軸上，且△BCQ與△CMP相似，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（1，4）（2）（0， ）或（0，-1）

【解析】試題分析：（1）先求得點C的坐標，再由OA=OC得到點A的坐標，再根據拋物線的對稱性得到點B的坐標，利用待定系數法求得解析式后再進行配方即可得到頂點坐標；

（2）由OC//PM，可得∠PMC=∠MCO，求tan∠MCO即可 ；

（3）分情況進行討論即可得.

試題解析：（1）當x=0時，拋物線y=ax2+bx+3=3，所以點C坐標為（0，3），∴OC=3，

∵OA=OC，∴OA=3，∴A（3，0），

∵A、B關于x=1對稱，∴B（-1，0），

∵A、B在拋物線y=ax2+bx+3上，

∴ ，∴ ，

∴拋物線解析式為：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴頂點P（1，4）；

（2）由（1）可知P（1，4），C（0，3），所以M（1，0），∴OC=3，OM=1，

∵OC//PM，∴∠PMC=∠MCO，

∴tan∠PMC=tan∠MCO= = ；

（3）Q在C點的下方，∠BCQ=∠CMP，

CM=,PM=4，BC=，

∴或 ，

∴CQ=或4，

∴Q1(0， ),Q2（0，-1）.