Question

【題目】已知，如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OC=3OB，B（1，0），

∴C（0，﹣3）．

把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3，

∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2+2x﹣3

（2）

解：由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，

如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N．

設(shè)M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3），

DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+ ）2+ ，

∴﹣1＜0，

∴當(dāng)x=- 時(shí)，DM有最大值 ，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD= ×4×3+ ×3×DM，此時(shí)四邊形ABCD面積有最大值為6+ × =

（3）

解：存在．

討論：①如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，

此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形．

∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3

∴x1=0，x2=﹣2．

∴P1（﹣2，﹣3）．

②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，

∵C（0，﹣3），

∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0

解得x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ ，

此時(shí)存在點(diǎn)P2（﹣1+ ，3），P3（﹣1﹣ ，3），

綜上所述，存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是：

P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+ ，3），P3（﹣1﹣ ，3）．

【解析】（1）根據(jù)OC=3OB，B（1，0），求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3），把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y=ax2+2ax+c，求出a點(diǎn)坐標(biāo)即可求出函數(shù)解析式；（2）圖，過(guò)點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N．設(shè)M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3），然后求出DM的表達(dá)式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD ， 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；（3）①過(guò)點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1 ， 過(guò)點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1 ， 此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形．平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形．