Question

【題目】在△ABC中，AB⊥BC，AB = BC，E為BC上一點，連接AE，過點C作CF⊥AE,交AE的延長線于點F，連結BF,過點B作BG⊥BF交AE于G．

（1）求證：△ABG ≌ △CBF；

（2）若E為BC中點，求證：CF + EF = EG.

Answer 1

【答案】（1）見詳解（2）見詳解

【解析】

（1）證明∠BAG=∠BCF，∠ABG=∠CBF；即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；證明BH=CF，HE=EF；此為解決問題的關鍵性結論；證明GH=CF，即可解決問題．

解：（1）如圖，∵∠ABC=∠AFC=90°，
∴A、B、F、C四點共圓，
∴∠BAG=∠BCF；
∵AB⊥BC，BG⊥BF，
∴∠ABC=∠GBF，
∴∠ABG=∠CBF；
在△ABG與△CBF中，，
∴△ABG≌△CBF（ASA）．
（2）

如圖，過點B作BH⊥AF；
∵CF⊥AE，
∴BH∥CF，△BHE∽△CFE，
∴BH：CF=GE：EF=BE：CE，
∵BE=CE，
∴BH=CF，HE=EF；
∵△ABG≌△CBF，
∴BG=BF，
∴GH=HF，
∴BH=GF=GH，
∴GH=CF，而GE=EF，
∴CF+EF=EG．