Question

【題目】在正方形中，是上的一動點，連接，分別過點作，垂足為.

（1）求證：；

（2）如圖（2），若點是的延長線上的一個動點，請探索三條線段之間的數量關系？并說明理由；

（3）如圖（3），若點是的延長線上的一個動點，請探索三條線之間的數量關系？（直接寫出結論，不需說明理由）

Answer 1

【答案】（1）BE=EF+DF；（2）DF=EF+BE；（3）EF=BE+DF．

【解析】

試題解析：（1）根據正方形的性質可知證出△ABE≌△DAF，根據全等三角形的性質：全等三角形對應邊相等可得：BE=AF，AE=DF，得出BE=EF+DF；

（2）同（1）的證法相同，先證明△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性質可得：BE=AF，BE=DF，再根據等量代換可得出圖（2）中DF=EF+BE；

（3）同（1）的證法相同，可得出圖（3）中EF=EB+FD．

試題解析：（1）BE=EF+DF，

證明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中

，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AF-AE=EF，

∴BE-DF=EF．

（2）DF=BE+EF，

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE+∠DAF=90°，

∵BE⊥PA、DF⊥PA，

∴∠AEB=∠DFA=90°，

∴∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE=AF+EF，

∴DF=EB+EF．

（3）EF=BE+DF．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵BE⊥PA、DF⊥PA，

∴∠AEB=∠DFA=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠2，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF（全等三角形對應邊相等），

∵EF=AF+AE，

∴EF=EB+FD（等量代換）．