Question

【題目】在四邊形ABCD中，點E為AB邊上的一點，點F為對角線BD上的一點，且EF⊥AB．若四邊形ABCD為正方形．

①如圖1，請直接寫出AE與DF的數量關系　 　；

②將△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，連接AE，DF，猜想AE與DF的數量關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）FD＝AE；（2）DF＝AE

【解析】

（1）由正方形的性質可得AB=AD，∠ABD=45°，∠A=90°，可得BD=AB，由平行線分線段成比例可得，可得FD=AE；

（2）由旋轉的性質可得∠ABE=∠DBF，，可證△ABE∽△DBF，可得FD=AE．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABD＝45°，∠A＝90°，

∴BD＝AB，

∵EF⊥AB，∠ABD＝45°

∴∠EFB＝45°＝∠ABD，

∴EF＝BE

∴BF＝BE，

∵∠A＝90°，EF⊥AB，

∴EF∥AD

∴

∴FD＝AE

（2）FD＝AE

理由如下：

∵旋轉

∴∠ABE＝∠DBF，且

∴△ABE∽△DBF

∴

∴DF＝AE