Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交與點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延長線于點P．

（1）求證：∠BCP=∠BAN．

（2）若AC=4，PC=3，求MNBC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；

【解析】

（1）由AC為 O直徑，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根據PC是 O的切線，得到∠ACN+∠PCB=90°，進而可得結論.（2）由等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB，根據圓內接四邊形的性質得到∠PBC=∠AMN，證出△BPC∽△MNA，即可得到結論．

∵AC為⊙O直徑，

∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+∠ACN=90°，

∵AB=AC，

∴∠BAN=∠CAN，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠ACP=90°，

∴∠ACN+∠PCB=90°，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AC=4， PC=3，

∴AP=5，

∴PB=1，

∵PC是⊙O的切線，

∴PC2=PMPA，

∴PM=，

∴AM=，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，

∴∠PBC=∠AMN，

由（1）知∠BCP=∠BAN，

∴△BPC∽△MNA，

∴ ，

∴MNBC=PBAM=．