Question

【題目】如圖，A是半徑為12cm的⊙O上的定點，動點P從A出發，以2πcm/s的速度沿圓周逆時針運動，當點P回到點A立即停止運動．

（1）如果∠POA=90°，求點P運動的時間；

（2）如果點B是OA延長線上的一點，AB=OA，那么當點P運動的時間為2s時，判斷直線BP與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點P運動的時間為3s或9s；（2）直線BP與⊙O相切，理由見解析.

【解析】

（1）當∠POA=90°時，點P運動的路程為⊙O周長的或，所以分兩種情況進行分析即可得；

（2）直線BP與⊙O的位置關系是相切，根據已知可證得OP⊥BP，即直線BP與⊙O相切．

（1）當∠POA=90°時，根據弧長公式可知點P運動的路程為⊙O周長的或，

設點P運動的時間為ts，

當點P運動的路程為⊙O周長的時，2πt=2π12，解得t=3；

當點P運動的路程為⊙O周長的時，2πt=2π12，解得t=9，

∴當∠POA=90°時，點P運動的時間為3s或9s；

（2）如圖，當點P運動的時間為2s時，直線BP與⊙O相切.理由如下：

當點P運動的時間為2s時，點P運動的路程為4πcm，連接OP，PA，

∵半徑AO=12，∴⊙O的周長為24π，

∴的長為⊙O周長的，∴∠POA=60°，

∵OP=OA，∴△OAP是等邊三角形，

∴OP=OA=AP，∠OAP=60°，

∵AB=OA，∴AP=AB，

∵∠OAP=∠APB+∠B，∴∠APB=∠B=30°，

∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，

∴OP⊥BP，∴直線BP與⊙O相切．