Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線：交軸于點、交軸于點，

（1）求直線的函數表達式；

（2）設點是軸上的一點

①在坐標平面內是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

②若是線段的中點，點與點關于軸對稱，點在直線上，當為等邊三角形時，求直線的函數表達式.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ， ， ；（3）或

【解析】

（1）將點A的坐標代入直線：中即可求出直線的解析式；

（2）①先假設存在點Q，則以A,P,B,Q為頂點的四邊形是菱形，再利用菱形的性質求點Q的坐標即可，如果能求出來，說明存在，反之則不存在；

②要求DM的直線必須知道點M的坐標，求點M的坐標必須把它放到直角三角形中去求.利用關于y軸對稱的點的特點和等邊三角形的性質，結合全等三角形及銳角三角函數解題即可.

解：（1）將代入得，

，

解得

所以，直線的函數表達式為；

（2）①直線l中，令x=0,y=,∴OB=

由勾股定理得

若AP為對角線時，有兩種情況：

∵BP∥AQ

∴Q點與A點橫坐標相同

∵四邊形ABPQ是菱形

∴AQ=AB=8

若點P在點B上端，則Q的坐標為（4,8）

若點P在點B下端，則Q的坐標為（4,-8）

若AB為對角線

∵四邊形APBQ為菱形

設AB,PQ交于點D

∴AB⊥PQ，

∴tan∠OBA=

∴∠OBA=30°

∵PB∥AQ

∴∠BAQ=30°

在Rt△ADQ中，

∴

∴Q的坐標為

若BP為對角線

∵四邊形ABQP為菱形

∴BP⊥AQ,AO=OQ

∴Q的坐標為

綜上所述，這樣的Q點有4個，分別是

， ，

②點D與C點關于y軸對稱，所以D的坐標為（-2,0）

如圖，當點在軸上方時，

將及CD邊繞點逆時針旋轉至點與點重合，設與重合，則，，作MQ⊥AD于點Q

∵CD=CE,

∴為等邊三角形

∴點在的中垂線上，即在軸上，于是

∵∠MCP=∠DCE=60°

∴∠MCP+∠PCD=∠DCE+∠PCD

∴∠MCD=∠PCE

在△MCD和△PCE中

∴△MCD≌△PCE（SAS）

∴

在Rt△AMQ中，

∵∠BAO=60°

∴tan60°=

設AQ=x,則MQ=

在Rt△DMQ中，

解得

∴

∴

設DM的直線方程為

將D（-2,0），代入直線方程中

解得

所以，直線DM的函數表達式為

當點在軸下方時，同理可得直線的函數表達式為