Question

如圖，直角梯形OABC的直角頂點是坐標原點，邊OA,OC分別在X軸，y軸的正半軸上。OA∥BC，D是BC上一點，               ，AB=3, ∠OAB=45°，E,F分別是線段OA,AB上的兩個動點，且始終保持∠DEF=45°，設OE=x，AF=y,則y與x的函數關系式為                  ，如果△AEF是等腰三角形時。將△AEF沿EF對折得△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積                 。

Answer 1

          ， 。

首先過B作x軸的垂線，設垂足為M，由已知易求得OA的長，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度數及AB的長，即可求出AM、BM的長，進而可得到BC、CD的長，再連接OD，證△ODE∽△AEF，通過得到的比例線段，即可得出y、x的函數關系式；
若△AEF是等腰三角形，應分三種情況討論：
①AF=EF，此時△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延長線上，重合部分是四邊形EDBF，其面積可由梯形ABDE與△AEF的面積差求得；
②AE=EF，此時△AEF是等腰Rt△，且E是直角頂點，此時重合部分即為△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四邊形AEDB是平行四邊形，則AE=BD，進而可求得重合部分的面積；
③AF=AE，此時四邊形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此時OD=OE=3，由此可求得AE、AF的長，過F作x軸的垂線，即可求出△AEF中AE邊上的高，進而可求得△AEF（即△A′EF）的面積．