Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標為(－4，0)，點B的坐標為(0，b)(b>0)． P是直線AB上的一個動點，作PC⊥x軸，垂足為C．記點P關于y軸的對稱點為P'（點 P'不在y軸上），連結P P'， P'A，P'C．設點P的橫坐標為a．

(1) 當b＝3時，求直線AB的解析式；
(2) 在(1)的條件下，若點P'的坐標是(-1，m)，求m的值；
(3) 若點P在第一像限，是否存在a ，使△P'CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解:  (1)設直線AB的解析式為y=kx+3，
把x＝－4，y＝0代人上式，得－4k+3＝0，
∴，      ∴
（2）由已知得點P的坐標是(1，m)，
∴，∴.
(3) 以下分三種情況討論．
i)若∠AP'C= 90°，P'A= P'C（如圖1），過點P'作P'H⊥x軸于點'H，

∴PP'=CH=AH=P'H =AC，
∴，∴．
ii)若∠P'AC=90°，P'A= CA(如圖2)，

則PP'=AC，∴2a＝a+4，∴ a＝4．
iii)若∠P'CA =90°，則點P'，P都在第一象限，
這與條件矛盾，
∴△P'CA不可能是以C為直角頂點的等腰直角三角形．

（1）利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（2）把（-1，m）代入函數解析式即可求得m的值；可以證明△PP′D∽△ACD，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求解；
（3）點P在第一像限，若使△P'CA為等腰直角三角則∠AP′C=90°或∠P′AC=90°或∠P′CA=90°就三種情況分別討論求出出所有滿足要求的a的值即可