Question

【題目】如圖，直線BC與半徑為6的⊙O相切于點B，點M是圓上的動點，過點M作MC⊥BC，垂足為C，MC與⊙O交于點D，AB為⊙O的直徑，連接MA、MB，設MC的長為x，（6＜x＜12）．

（1）當x=9時，求BM的長和△ABM的面積；

（2）是否存在點M，使MDDC=20？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BM=6；S△ABM=18；（2）不存在；理由見解析.

【解析】

（1）利用切線的性質以及平行線的性質進而得出∠BMC=∠ABM以及∠BCM=∠AMB=90°，即可得出△BCM∽△AMB，根據相似三角形的性質即可求得BM的長，根據勾股定理求得BC，然后根據三角形面積公式求得△ABM的面積；

（2）首先得出四邊形OBCE為矩形，進而得出MDDC=2（x-6）（12-x），進而求出最值即可判定．

（1）∵直線BC與半徑為6的⊙O相切于點B，且AB為⊙O的直徑，

∴AB⊥BC，

又∵MC⊥BC，

∴AB∥MC，

∴∠BMC=∠ABM，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AMB=90°，

∴∠BCM=∠AMB=90°，

∴△BCM∽△AMB，

∴，

∴BM2=ABMC=12×9=108，

∴BM=6，

∵BC2+MC2=BM2 ，

∴BC==3

∴S△ABM=ABBC=×12×3=18；

（2）過O作OE⊥MC，垂足為E，

∵MD是⊙O的弦， OE⊥MD，

∴ME=ED，

又∵∠CEO=∠ECB=∠OBC=90°，

∴四邊形OBCE為矩形，

∴CE=OB=6，

又∵MC=x，

∴ME=ED=MC﹣CE=x﹣6，MD=2（x﹣6），

∴CD=MC﹣MD=x﹣2（x﹣6）=12﹣x，

∴MDDC=2（x﹣6）（12﹣x）=﹣2x2+36x﹣144=﹣2（x﹣9）2+18

∵6＜x＜12，

∴當x=9時，MDDC的值最大，最大值是18，

∴不存在點M，使MDDC=20．