Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y=ax2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，頂點為D（0，4），AB=4 ，設點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉180°，得到新的拋物線C′．

（1）求拋物線C的函數表達式；
（2）若拋物線C′與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，求m的取值范圍．
（3）如圖2，P是第一象限內拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C′上的對應點P′，設M是C上的動點，N是C′上的動點，試探究四邊形PMP′N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意拋物線的頂點C（0，4），A（2 ，0），設拋物線的解析式為y=ax2+4，

把A（2 ，0）代入可得a=﹣ ，

∴拋物線C的函數表達式為y=﹣ x2+4

（2）

解：由題意拋物線C′的頂點坐標為（2m，﹣4），設拋物線C′的解析式為y= （x﹣m）2﹣4，

由 ，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，

由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，

則有 ，解得2＜m＜2 ，

∴滿足條件的m的取值范圍為2＜m＜2

（3）

解：結論：四邊形PMP′N能成為正方形．

理由：1情形1，如圖，作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．

由題意易知P（2，2），當△PFM是等腰直角三角形時，四邊形PMP′N是正方形，

∴PF=FM，∠PFM=90°，

易證△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，

∴M（m+2，m﹣2），

∵點M在y=﹣ x2+4上，

∴m﹣2=﹣ （m+2）2+4，解得m= ﹣3或﹣ ﹣3（舍棄），

∴m= ﹣3時，四邊形PMP′N是正方形．

情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣ x2+4中，2﹣m=﹣ （m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍棄），

∴m=6時，四邊形PMP′N是正方形

【解析】（1）由題意拋物線的頂點C（0，4），A（2 ，0），設拋物線的解析式為y=ax2+4，把A（2 ，0）代入可得a=﹣ ，由此即可解決問題；（2）由題意拋物線C′的頂點坐標為（2m，﹣4），設拋物線C′的解析式為y= （x﹣m）2﹣4，由 ，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，則有 ，解不等式組即可解決問題；（3）情形1，四邊形PMP′N能成為正方形．作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（2，2），當△PFM是等腰直角三角形時，四邊形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易證△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系數法即可解決問題；情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系數法即可解決問題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．