Question

9．如圖，直線l：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別相交于點A、B，△AOB與△ACB關于直線l對稱，則∠OBC=60°．點C的坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 過點C作CE⊥x軸于點E，先根據直角三角形的性質求出OA，OB的長度，根據直角三角形特殊角的三角函數值可求得有關角的度數．利用軸對稱性和直角三角函數值可求得AE，CE的長度，從而求得點C的坐標．

解答 解：過點C作CE⊥x軸于點E，
由直線AB的解析式可知
當x=0時，y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，即OB=$\sqrt{3}$
當y=0時，x=1，即OA=1
∵∠AOB=∠C=90°，tan∠3=OB：OA=$\sqrt{3}$
∴∠3=60°，
∵△AOB與△ACB關于直線l對稱
∴∠2=∠3=60°，則∠OBC=60°，AC=OA=1，
∴∠1=180°-∠2-∠3=60°，
在Rt△ACE中，
AE=cos60°×AC=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
CE=sin60°×AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴點C的坐標是（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案為：60°，（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點評 本題主要考查了一次函數圖象上點的性質和有關軸對稱的性質，熟練運用數形結合的知識解題是關鍵．