Question

【題目】如圖，在四邊形中，平分，，是的中點，，過作于，并延長至點，使．

（1）求證：；

（2）若，求證：四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【解析】

（1）欲證明AC2＝CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；

（2）利用“在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”、“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知四邊形AKEC的四條邊都相等，則四邊形AKEC是菱形．

證明：（1）∵AC平分∠BCD，

∴∠DCA＝∠ACB．

又∵AC⊥AB，AD⊥AE，

∴∠DAC+∠CAE＝90°，∠CAE+∠EAB＝90°，

∴∠DAC＝∠EAB．

又∵E是BC的中點，

∴AE＝BE，

∴∠EAB＝∠ABC，

∴∠DAC＝∠ABC，

∴△ACD∽△BCA，

∴，

∴AC2＝CDBC；

（2）證明：∵EF⊥AB，AC⊥AB，

∴EF∥AC，

又∵∠B＝30°，

∴AC＝BC＝EB＝EC．

又EF＝EB，

∴EF＝AC，

即AF＝FE＝EC＝CA，

∴四邊形AFEC是菱形．