Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2+3＝0有兩個實數根x1，x2

（1）求實數a的取值范圍

（2）若等腰△ABC的三邊長分別為x1，x2，6，求△ABC的周長

（3）是否存在實數a，使x1，x2恰是一個邊長為的菱形的兩條對角線的長？若存在，求出這個菱形的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a≥1；（2）14；（3）存在，4．

【解析】

（1）根據一元二次方程根的判別式建立不等式求解即可；

（2）首先分x1＝x2，當x1＝6或x2＝6兩種情況討論，之后再分情況代入求出a的值再求出對應的x的值進一步計算即可；

（3）首先根據根與系數的關系得出x1+x2＝2（a+1），x1x2＝a2+3，根據勾股定理建立方程，然后進一步變形代入計算出a的值，然后利用菱形面積等于對角線乘積一半求出面積即可.

解：（1）根據題意得△＝4（a+1）2﹣4（a2+3）＝8a﹣8≥0， ∴a≥1；

（2）①當等腰△ABC底邊為6，x1＝x2時，△＝0，則a＝1，

方程變形為x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，而2+2＜6，不符合三角形三邊的關系，舍去；

②當等腰△ABC腰長為6，x1＝6或x2＝6時，把x＝6代入方程x2﹣2（a+1）x+a2+3＝0得36﹣12（a+1）+a2+3＝0，解得a1＝3，a2＝9，

當a＝3時，方程化為x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或6，三角形三邊為6、6、2，則△ABC的周長為6+6+2＝14；

當a＝9時，方程化為x2﹣20x+84＝0，解得x＝14或6，而6+6＜14，不符合三角形三邊的關系，舍去；

∴△ABC的周長為14；

（3）存在．

由題意得：x1+x2＝2（a+1），x1x2＝a2+3，

∵x12+x22＝（）2，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝22，

即4（a+1）2﹣2（a2+3）＝88，

整理得a2+4a﹣45＝0，解得a1＝5，a2＝﹣9（舍去），

當a＝5，方程化為x2﹣12x+28＝0，則x1x2＝28，所以這個菱形的面積＝×28＝14．