Question

已知三角形的三條邊a，b，c適合等式：a³+b³+c³=3abc，請確定三角形的形狀．

Answer 1

分析：根據a³+b³+c³-3abc+a³+b³+c³-3abc配方后的式子可得出a²+b²+C²-ab-ac-bc=0，然后再配方根據非負性即可判斷出三角形的形狀．

解答：解，依題意：a³+b³+c³=3abc，
而a³+b³+c³-3abc+a³+b³+c³-3abc

=(a+b)(a2-ab+b2)+c3-3abc =(a+b)[(a+b)2-3ab]+c3-3abc =(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)•c+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) =0

∵a，b，c為三角形的三邊長，
∴a+b+c＞0，

a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0 a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0

∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
∴只有（a-b）²=0，（a-c）²=0，（b-c）²=0，
∴a=b=c，即三角形為等邊三角形．

點評：本題考查立方公式的應用，難度較大，注意掌握立方公式的特點是解答本題的關鍵．