Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，P是AB邊上的一個動點，由A向B運動（P不與A、B重合），Q是BC延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由C向BC延長線方向運動（Q不與C重合），

（1）當∠BPQ＝90°時，求AP的長；

（2）過P作PE⊥AC于點E，連結PQ交AC于D，在點P、Q的運動過程中，線段DE的長是否發生變化？若不變，求出DE的長度；若變化，求出變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）AP＝1；（2）線段DE的長度不會改變；DE＝1.5.

【解析】

（1）作PF∥BC交AC于F，由等邊三角形的性質就可以得出△APF是等邊三角形，可證△PFD≌△QCD，由直角三角形的性質就可以得出結論；
（2）作QF⊥AC，交直線AC的延長線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=CQ，再根據全等三角形的判定定理得出△APE≌△CQF，再由AE=CF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出AC =EC+AE=CE+CF=EF，故DE=AC，由等邊△ABC的邊長為3可得出DE=1.5即可．

解：（1）作PF∥BC交AC于F，如圖1所示：

∴∠APF＝∠B，∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠CQD，∠PFD＝∠QCD．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC．

∴∠APF＝∠AFP＝∠A＝60°，

∴△APF是等邊三角形，

∴AP＝AF＝PF．

∵Q與點P同時出發，速度也相同，

∴AP=CQ,

∴PF=CQ,

∴在△PFD和△QCD中，

，

∴△PFD≌△QCD（ASA），

∴FD＝CD．

∵∠APD＝90°，且∠A＝60°，

∴∠PDA＝30°，

∴AD＝2AP，

∴AD＝2AF．

∵AF+FD＝2AF，

∴FD＝AF．

∴AF＝FD＝CD．

∴AF＝AC．

∵AC＝3，

∴AP＝AF＝1；

（2）當點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．DE＝1.5.理由如下：

作QF⊥AC，交直線AC的延長線于點F，連接QE，PF，如圖2所示：

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，PE∥QF，

∵點P、Q速度相同，

∴AP＝CQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠FCQ＝60°，

在△APE和△CQF中，

∵∠AEP＝∠CFQ＝90°，

∴∠APE＝∠CQF，

∴在△APE和△CQF中，

，

∴△APE≌△CQF（AAS），

∴AE＝CF，PE＝QF，

∴四邊形PEQF是平行四邊形，

∴DE＝EF，

∴AC =EC+AE＝CE+CF＝EF，

∴DE＝AC，

又∵AC＝3，

∴DE＝1.5，

∴點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．