Question

【題目】如圖，中，，為上一點，經過點，與相交于點E，與交于點，連接.

(I).如圖，若，，求的長.

(II)如圖，平分，交于點，經過點.

①求證：為的切線；

②若，，求的長.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)AF=4；(Ⅱ)①證明見解析；②AF=5.

【解析】

（Ⅰ）由AF為⊙O的直徑可得∠AEF=90°，根據三角形內角和可求出∠BAC=60°，即可求出∠AFE=30°，根據含30°角的直角三角形的性質求出AF的長即可；(Ⅱ)①連接OD，根據角平分線的定義可得，由等腰三角形的性質可得，即可證明OD//AC，根據平行線的性質即可得結論；②設OD與EF交于點H，可證明四邊形CDHE是矩形，可得EH=CD=2，根據垂徑定理可求出EF的長，利用勾股定理求出AF的長即可.

（Ⅰ）∵AF為⊙O的直徑，

.

∵，，

，

，

AF=2AE=4.

（Ⅱ）①連接OD.

∵DA平分，

，

∵OA=OD，

，

，

，

∵∠C=90°，

，

即，

BC為⊙O的切線.

②設OD與EF交于點H，

∵，

四邊形CDHE為矩形.

EH=CD=2，.

.

EF=2EH=4.

.