Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線C1：y＝x2+6x+2的頂點為M，與y軸相交于點N，先將拋物線C1沿x軸翻折，再向右平移p個單位長度后得到拋物線C2，直線l：y＝kx+b經過M，N兩點．

（1）求點M的坐標，并結合圖象直接寫出不等式x2+6x+2＜kx+b的解集；

（2）若拋物線C2的頂點D與點M關于原點對稱，求p的值及拋物線C2的解析式；

（3）若拋物線C1與x軸的交點為E、F，試問四邊形EMBD是何種特殊四邊形？并說明其理由．

Answer 1

【答案】（1）（-2，-4）；﹣2＜x＜0 （2）4；y＝﹣x2+6x﹣2 （3）四邊形EMBD是平行四邊形，理由見解析

【解析】

（1）令拋物線C1的解析式中x＝0，求出y值即可得出點N的坐標，再利用配方法將拋物線C1的解析式配方，即可得出頂點M的坐標，結合函數圖象的上下位置關系，即可得出不等式的解集；

（2）找出點M關于x軸對稱的對稱點的坐標，找出點M關于原點對稱的對稱點的坐標，二者橫坐標做差即可得出p的值，根據拋物線的開口大小沒變，開口方向改變，再結合平移后的拋物線的頂點坐標即可得出拋物線C2的解析式；

（3）由點的對稱性知，DM、EB相互平分，故四邊形EMBD是平行四邊形．

解：（1）令y＝x2+6x+2中x＝0，則y＝2，

∴N（0，2）；

∵y＝x2+6x+2＝（x+2）2﹣4，

∴M（﹣2，﹣4）．

觀察函數圖象，發現：當﹣2＜x＜0時，拋物線C1在直線l的下方，

∴不等式x2+6x+2＜kx+b的解集為﹣2＜x＜0；

（2）∵y＝x2+6x+2拋物線C1：的頂點為M（﹣2，﹣4），

沿x軸翻折后的對稱點坐標為（﹣2，4）．

∵拋物線C2的頂點與點M關于原點對稱，

∴拋物線C2的頂點坐標為（2，4），

∴p＝2﹣（﹣2）＝4．

∵拋物線C2與C1開口大小相同，開口方向相反，

∴拋物線C2的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+6x﹣2；

（3）令y＝x2+6x+2＝0，則x＝﹣2，

即點E、F的坐標分別為（﹣2﹣，0）、（﹣2+，0），

點M（﹣2，﹣4）；

同理點A、B、D的坐標分別為（2﹣，）、（2+，0）、（2，4），

由點的對稱性知，DM、EB相互平分，故四邊形EMBD是平行四邊形，

經驗證該四邊形不是矩形、菱形，故四邊形EMBD是平行四邊形．