Question

23、已知：如圖1，點C為線段AB上一點，△ACM和△CBN都是等邊三角形，AN、BM交于點P，由△BCM≌△NCA，易證結論：①BM=AN．

（1）請寫出除①外的兩個結論：

∠MBC=∠ANC

∠BMC=∠NAC

；
（2）求出圖1中AN和BM相交所得最大角的度數

120°

；
（3）將△ACM繞C點按順時針方向旋轉180°，使A點落在BC上，請對照原題圖形在圖2中畫出符合要求的圖形（不寫作法，保留痕跡）；
（4）探究圖2中AN和BM相交所得的最大角的度數有無變化

不變

（填變化或不變）；
（5）在（3）所得到的圖形2中，請探究“AN=BM”這一結論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據全等三角形的對應角相等和對應邊相等來得出結論；
（2）本題求的是∠APB的度數，∠APB是三角形BNP的外角，因此利用三角形外角的特點得出結論；
（4）要通過證△BMC≌△ACN來實現，根據已知條件來證明這兩個三角形兩三角形全等，然后根據（2）的步驟即可得出最大角仍是120°；
（5）通過證三角形ANC和BCM全等來得出AN=BM，方法同（4）．

解答：解：（1）∠MBC=∠ANC、∠BMC=∠NAC．

（2）∵∠CNP=∠CBP，
∵∠APB=∠BNC+∠CNP+∠NBP=∠BNC+∠NBP+∠ABP=∠NBC+∠BNC=120°；

（3）

（4）不變；

（5）成立．
證明：∵三角形NBC和AMC都是等邊三角形，
∴BC=CN，MC=AC，∠MCB=∠NCA=60°；
∴△CAN≌△MCB；
∴AN=BM．

點評：本主要考查等邊三角形的性質和全等三角形的判定，根據全等三角形來得出相等的邊和角是解題的關鍵．