Question

（2007•中山區二模）已知：如圖1，點O為正方形ABCD內任一點，連接AO、BO，分別以AO、BO為一邊作如圖所示正方形BOMN和正方形AOFE，連接CN
（1）AE、CN之間有怎樣的關系？請驗證；
（2）若點O是正方形ABCD外部一點，如圖2，其他條件不變（1）的結論是否成立？請驗證．

Answer 1

分析：（1）AE=CN，AE∥CN，理由為：連接ED，EC，AN，如圖1所示，由正方形ABCD、AOFE，得到一對角為直角，兩對邊相等，利用同角的余角相等，利用SAS得出三角形AED與三角形AOB全等，由全等三角形對應邊相等得到DE=BO，AE=CN，再由BN=BO，等量代換得到DE=BN，同理得到三角形EDC與三角形ABN全等，利用全等三角形的對應邊相等得到EC=AN，利用兩對對應邊相等的四邊形為平行四邊形得到AECN為平行四邊形，利用平行四邊形的對應邊平行且相等即可得證；
（2）AE=CN，AE∥CN，理由為：連接ED，EC，AN，如圖2所示，同理即可證明．

解答：
證明：（1）AE=CN，AE∥CN，理由為：
連接ED、AN、EC，如圖1所示，
∵正方形ABCD、AOFE，
∴∠DAB=∠EAO=90°，AO=AF，AD=AB，
∴∠EAD+∠DAO=90°，∠DAO+∠OAB=90°，
∴∠EAD=∠OAB，
在△AED和△ABO中，

AE=AO ∠EAD=∠ABO AD=AB

，
∴△AED≌△ABO（SAS），
∴ED=BO，
∵BO=BN，
∴ED=BN，
同理AE=CN，
∵△AED≌△CBN，
∴∠ADE=∠CBN，
∴∠ADE+90°=∠CBN+90°，即∠EDC=∠ABN，
在△EDC和△ABN中，

DC=AB ∠EDC=∠ABN ED=BN

，
∴△EDC≌△ABN（SAS），
∴EC=AN，
∴四邊形AECN是平行四邊形，
∴AE=CN，AE∥CN；
（2）結論不變，AE=CN，AE∥CN，
證明：連接ED、AN、EC，如圖2所示，
同上問證明△AED≌△CBN≌△AOB，
∴AE=CN，△EDC≌△ABN，
∴AN=EC，
∴四邊形AECN是平行四邊形，
∴AE=CN，AE∥CN．

點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，熟練掌握正方形的性質是解本題的關鍵．