Question

（1）已知：如圖1，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，求證：AN=BM，這時可以證明

 

≌

 

，得到AN=BM；
（2）如果去掉“點C為線段AB上一點”的條件，而是讓△CBN繞點C旋轉成圖2的情形，還有“AN=BM”的結論嗎？如果有，請給予證明．

Answer 1

分析：（1）AN=BM，理由為：由△ACM和△CBN都是等邊三角形，根據等邊三角形的邊長相等分別得到邊長相等，三個內角相等，由∠ACM和∠NCB相等，兩邊加上∠MCN，得到∠ACN與∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN與三角形MCB全等，根據全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）AN=BM，理由為：由△ACM和△CBN都是等邊三角形，根據等邊三角形的邊長相等分別得到邊長相等，三個內角相等，由∠ACM和∠NCB相等，兩邊加上∠MCN，得到∠ACN與∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN與三角形MCB全等，根據全等三角形的對應邊相等即可得證．

解答：解：（1）相等．
證明如下：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，
又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中

AC=MC ∠ACN=∠ CN=CB

MCB，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；

（2）相等．
證明如下：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，
又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，
在△ACN和△MCB中

AC=MC ∠ACN=∠ CN=CB

MCB，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；可圍繞結論尋找全等三角形，運用全等三角形的性質判定線段相等，證得三角形全等是正確解答本題的關鍵．