Question

【題目】問題背景：已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點M，DF交BC所在直線于點N，記△ADM的面積為S1 ， △BND的面積為S2 ．

（1）初步嘗試：如圖①，當△ABC是等邊三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2時，則S1S2=；
（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點D沿AB平移，使AD=4，再將∠EDF繞點D旋轉至如圖②所示位置，求S1S2的值；
（3）延伸拓展：當△ABC是等腰三角形時，設∠B=∠A=∠EDF=α．
（Ⅰ）如圖③，當點D在線段AB上運動時，設AD=a，BD=b，求S1S2的表達式（結果用a，b和α的三角函數表示）．
（Ⅱ）如圖④，當點D在BA的延長線上運動時，設AD=a，BD=b，直接寫出S1S2的表達式，不必寫出解答過程．

Answer 1

【答案】
（1）12
（2）

解：如圖2中，設AM=x，BN=y．

∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，

∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，

∴△AMD∽△BDN，

∴ = ，

∴ = ，

∴xy=8，

∵S1= ADAMsin60°= x，S2= DBsin60°= y，

∴S1S2= x y= xy=12

（3）

解：Ⅰ如圖3中，設AM=x，BN=y，

同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵S1= ADAMsinα= axsinα，S2= DBBNsinα= bysinα，

∴S1S2= （ab）2sin2α．

Ⅱ如圖4中，設AM=x，BN=y，

同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵S1= ADAMsinα= axsinα，S2= DBBNsinα= bysinα，

∴S1S2= （ab）2sin2α．

【解析】解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，
∵DE∥BC，∠EDF=60°，
∴∠BND=∠EDF=60°，
∴∠BDN=∠ADM=60°，
∴△ADM，△BDN都是等邊三角形，
∴S1= 22= ，S2= （4）2=4 ，
∴S1S2=12，
所以答案是12．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和等邊三角形的性質的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題．