Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O經過AC的中點D，DE⊥BC于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）當AB＝4，∠C＝30°時，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和π）．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4．

【解析】

（1）連接OD，利用三角形中位線的性質可以得到OD∥BC，然后根據DE⊥BC即可得到OD⊥DE，從而判斷DE是圓的切線；

（2）過點O作OF⊥AD，垂足為F，根據平行線的性質得出∠ADO的度數，然后根據等腰三角形的性質和勾股定理得到∠AOD的度數和AD，OF的長度，然后利用扇形面積減去三角形面積即可求得陰影部分面積．

解：（1）連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，D是AC的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∵點D在圓上，

∴DE為⊙O的切線；

（2）過點O作OF⊥AD，垂足為F，

∵OD∥BC，

∴∠ADO＝∠C ＝30°，

∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA＝30°，

∴∠A＝∠C，∠AOD＝120°，

∴AB＝BC＝4，

∵OD是△ABC的中位線，

∴OD＝2， OF＝，

∴AF＝ =3，

∴AD＝2AF=6，

∴S△AOD＝ADOF＝×6×＝3，

∴陰影部分面積S＝﹣3＝．