Question

【題目】拋物線y＝﹣+bx+c交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，直線AB的解析式為y＝．

（1）求b，c的值；

（2）BA沿y軸翻折180°得到BA′，F為A′B上一點，BF的垂直平分線交y軸于點L，R為x軸上一點，BF+OR＝2，QR⊥FL于Q，求QR的長；

（3）在（2）的條件下，直線LF交x軸于點D，E為拋物線第一象限上一點，BE＝BD，∠ABE+∠ABD＝180°，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b＝，c＝2；（2）QR=＝2；（3）或

【解析】

（1）先求出A、B坐標再代入拋物線解析式即可算出b、c．

（2）設LQ延長線交x軸于點D，由題意可知LB＝LF，從而可確定∠DLO＝60°，因此只需求RD的長度就可以了，根據設而不求的思想，設BL＝LF＝m，分別表示出OL、OD、OR長度，OD﹣OR即是RD的長度，而QR是RD的一半．

（3）由∠ABE+∠ABD＝180°以及BE＝BD可以導出AB∥DE，作BP⊥AB交x軸于點P，連接EP，可證得△EDP是等邊三角形，設D點橫坐標為n，則可將E點坐標用n表示出來，再將E點坐標代入拋物線解析式即可求出n的值，也就求出了E點坐標．

（1）∵直線y＝x+2分別與x軸、y軸交于A、B兩點，

∴A（﹣2，0），B（0，2），

∵拋物線y＝﹣+bx+c經過A、B兩點，

∴將A、B兩點坐標代入拋物線解析析得：

﹣ ﹣2b+c＝0，c＝2，

∴b＝，c＝2，

∴拋物線的解析為．

（2）由題意知A'（2，0），

∴OA'＝2，

∴tan∠A'BO＝，所以∠OBA'＝30°，

∵L為BF垂直平分線上的點，

∴LB＝LF＝m，

∴∠LFB＝∠LBF＝30°，

∴∠OLQ＝60°，BF＝m，

∴OL＝OB﹣LB＝2﹣m，

設LQ的延長線與x軸交于點D，則∠LDO＝30°，

∴OD＝OL＝6﹣m，

∵BF+OR＝2，

∴OR＝2﹣BF＝2﹣m，

∴RD＝OD﹣OR＝4，

∵RQ⊥FL，

∴QR＝RD＝2．

（3）如圖3，設G為AB延長上一點，作BP⊥AB交x軸于點P，

連接EP，作EH⊥x軸于H．

∵tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝60°，

∴∠BPA＝30°，

∵∠ABE+∠ABD＝∠ABE+∠GBE＝180°

∴∠ABD＝∠GBE，

∵BD＝BE，

∴∠BDE＝∠BED，

∵∠ABD+∠DBE+∠GBE＝∠BDE+∠DBE+∠BED＝180°，

∴∠ABD＝∠GBE＝∠BDE＝∠BED，

∴AB∥DE，

∴∠EDP＝∠BAO＝60°，

∵BP⊥AB，

∴BP⊥DE，

∴PE＝PD，

∴△EDP是等邊三角形，

∴PH＝DH＝ DP，

設D點坐標為（n，0），

∵OP＝OB＝6，

∴PD＝OP﹣OD＝6﹣n，

∴DH＝PH＝

∴E（，），

將E點坐標代入拋物線解析式解得n＝4或n＝ ，

∴E點坐標為或．