Question

【題目】如圖，BE與CD相交于點A，CF為∠BCD的平分線，EF為∠BED的平分線，EF與CD交于點M，CF與BE交于點N．

（1）若∠D＝70°，∠BED＝30°，則∠EMA＝　 　（度）；

（2）若∠B＝60°，∠BCD＝40°，則∠ENC＝　 　（度）；

（3）∠F與∠B、∠D有怎樣的數量關系？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）85；（2）80；（3）∠F＝（∠B+∠D）．

【解析】

（1）利用角平分線的性質以及三角形外角的性質求解即可；

（2）利用角平分線的性質以及三角形外角的性質求解即可；

（3）利用三角形外角的性質求得∠D+∠DEF+∠B+∠BCF＝∠F+∠DCF+∠F+∠BEF，利用角平分線的性質可證得∠B+∠D＝2∠F，從而求得答案.

（1）∵EF為∠BED的平分線，∠BED＝30°，

∴∠DEM＝∠FEN＝∠BED＝15°．

又∵∠EMA＝∠D+∠DEM，∠D＝70°，

∴∠EMA＝85°．

故答案為：85°．

（2）∵CF為∠BCD的平分線，∠BCD＝40°，

∴∠BCN＝∠FCM＝∠BCD＝20°．

又∵∠ENC＝∠B+∠BCN，∠B＝60°，

∴∠ENC＝80°．

故答案為：80°．

（3）∠F＝（∠B+∠D）．

證明：∵∠EMA＝∠D+∠DEF＝∠F+∠DCF，

∠ENC＝∠B+∠BCF＝∠F+∠BEF，

∴∠D+∠DEF+∠B+∠BCF＝∠F+∠DCF+∠F+∠BEF．

又∵CF為∠BCD的平分線，EF為∠BED的平分線，

∴∠DEF＝∠BEF，∠DCF＝∠BCF．

∴∠B+∠D＝2∠F．

即：∠F＝（∠B+∠D）．