Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+4與坐標軸分別交于點A、B，與直線y＝x交于點C．在線段OA上，動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發向點A做勻速運動，同時動點P從點A出發向點O做勻速運動，當點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動．分別過點P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點E、F，連接EF．若運動時間為t秒，在運動過程中四邊形PEFQ總為矩形（點P、Q重合除外）．

（1）求點P運動的速度是多少？

（2）當t為多少秒時，矩形PEFQ為正方形？

Answer 1

【答案】（1）點P運動的速度是每秒2個單位長度；（2）t＝2或4；

【解析】

（1）先求得A，B兩點坐標，得到的值，再根據相似三角形對應邊成比例得到AP與EP的比值，進而得到點P的速度；

（2）分Q，P兩點相遇前后兩種情況進行討論，當PQ＝PE時，矩形PEFQ為正方形，由用關于t的式子表示各線段的長，然后求出t的值即可.

解：（1）∵直線y＝﹣x+4與坐標軸分別交于點A、B，

∴x＝0時，y＝4，y＝0時，x＝8，

∴，

當t秒時，QO＝FQ＝t，則EP＝t，

∵EP∥BO，

∴，

∴AP＝2t，

∵動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發向點A做勻速運動，

∴點P運動的速度是每秒2個單位長度；

（2）如圖，當PQ＝PE時，矩形PEFQ為正方形，

則∵OQ＝FQ＝t，PA＝2t，

∴QP＝8﹣t﹣2t＝8﹣3t，

∴8﹣3t＝t，

解得：t＝2；

如圖2，當PQ＝PE時，矩形PEFQ為正方形，

∵OQ＝t，PA＝2t，

∴OP＝8﹣2t，

∴QP＝t﹣（8﹣2t）＝3t﹣8，

∴t＝3t﹣8，

解得：t＝4；