Question

過三角形的重心任作一直線，把這個三角形分成兩部分，求證：這兩部分面積之差不大于整個三角形面積的

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Answer 1

設△ABC重心為G，過點G分別作各邊的平行線與各邊交點依次為A₁、B₁、B₂、C₁、C₂、A₂
連接A₁A₂；B₁B₂、C₁C₂，
∵三角形重心到一個頂點的距離等于它到對邊中點距離的二倍，
∴A₁A=A₁B_l=B₁B，BB₂=B₂C_l=C₁C，CC₂=C₂A₂=A₂A，
∵A₁A₂∥BC，B₁B₂∥AC，C₁C₂∥AB，
∴圖中的9個三角形全等．
即△AA₁A₂≌△A₁B₁G≌△B₂GB₁≌△C₂C_lC、
所以上述9個小三角形的面積均等于△ABC面積的

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若過點C作的直線恰好與直線A₁C₁、B₁C₂、B₂A₂重合，則△ABC被分成的兩部分的面積之差等于一個小三角形的面積，即等于△ABC面積的

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若過點C作的直線不與直線A₁C₁、B₁C₂、B₂A₂重合，不失一般性，設此直線交AC于F，交AB于E，交C₁C₂于D，
∵GB_l=GC₂，∠EB₁G=∠DC₂C，∠B₁GE=∠C₂GD，
∴△B₁GE≌△C₂GD、
∴EF分△ABC成兩部分的面積之差等于|S△C2DF-S四邊形DFCC1|，
而這個差的絕對值不會超過S△C₁C₂C的面積．
從而EF分△ABC成兩部分的面積之差不大于△ABC面積的

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綜上所述：過三角形重心的任一直線分三角形成兩部分的面積之差不大于整個三角形面積的

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